函数与方程
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教师简介

    纪晖 中学高级教师, 江宁区学科带头人,一直任教高中数学,多篇论文获奖或发表,积极参与学校课堂教学改革,课题《课标分解下促进思维发展的高中数学课堂教学模式的研究》为南京市个人立项课题,还参与学校的集体课题研究。

课程信息

 

    考纲要求注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查,突出考查学生思维的严谨性和周密性,以及认识问题的全面性和深刻性,提高学生分析问题,解决问题的能力,能体现“着重考查数学能力”的要求.因此数形结合是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.

     函数与方程思想是中学数学的基本思想,是历年高考的重点和热点,主要依据题意,构造恰当的函数,或建立相应的方程来解决问题,它涉及三大题型.高、中、低档试题都有出现.近几年来代数压轴题多为考查应用函数思想解题的能力.

 

(二)复习指导:

1.函数与方程思想的含义

(1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶性                                               、周期性、最大值和最小值、图象变换等.

(2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程的教学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.

2.和函数与方程思想密切关联的知识点

(1)函数与方程是密切相关的,对函数yf(x),当y=0时,就化为不等式f(x)=0,也可以把函数式yf(x)看作二元方程y-f(x)=0,函数问题可以转化为方程问题来求解,方程问题也可以转化为函数问题来求解,如解方程f(x)=0,就是求函数yf(x)的零点.

(2) 函数与不等式的相互转化,对函数yf(x),当y>0时,就化为不等式f(x)>0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式.

(3)数列的通项与n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要.

(4)在三角函数求值中,把所求的量看作未知量,其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式,那么问题就能化为未知量的方程来解.

(5)解析几何中的许多问题,例如直线与二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.

(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决,建立空间直角坐标系后,立体几何与函数的关系更加密切.

 

《函数与方程》教学案

教学目标:

理解函数与方程是密切相关的,对函数yf(x),当y=0时,就化为不等式f(x)=0,也可以把函数式yf(x)看作二元方程y-f,函数问题可以转化为方程问题来求解,方程问题也可以转化为函数问题来求解,如解方程f(x)=0,就是求函数yf(x)的零点.

教学重点:

和函数与方程思想密切关联的知识点

(1)函数与方程是密切相关的,对函数yf(x),当y=0时,就化为不等式f(x)=0,也可以把函数式yf(x)看作二元方程y-f,函数问题可以转化为方程问题来求解,方程问题也可以转化为函数问题来求解,如解方程f(x)=0,就是求函数yf(x)的零点.

(2) 函数与不等式的相互转化 ,对函数yf(x),当y>0时,就化为不等式f(x)>0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式.

教学内容:

        1.常见题型  函数零点的确定与应用

     常见的函数零点(即方程的根)的确定问题有:

    ①函数零点值或大致存在区间的确定;

    ②零点个数的确定;

    ③两函数图象交点的横坐标的确定或有几个交点.

   

   方程f(x)=0有实根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.

   函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数根,也就是函数y=f(x)图象与函数y=    g(x)图象交点的横坐标.

     2.例题精选:请见PPT

课堂小结:

解决零点问题的常用方法:

     今天我们研究了函数的零点问题,解决这类问题,首先要能够画出草图进行分析。一般来说:解方程、利用零点存在的判定或数形结合是解决这类问题常用的方法,尤其是那些两端对应的函数类型不同的方程更要例用数形结合法求解.

 

 

 

 

课后作业
课程答疑